МА 3 сем

Материал из Шпаргалки
Перейти к: навигация, поиск

Структура билета: вопрос и две задачи по рядам и ОДУ.

Список вопросов на экзамен

  1. Числовые ряды: основные понятия и свойства, ряд геометрической прогрессии.
  2. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд.
  3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: 2 признака сравнения, Даламбера, Коши (радикальный).
  4. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле).
  5. Знакопеременные ряды: основные понятия, абсолютная и условная сходимость, достаточное условие сходимости (теорема Коши), свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
  6. Знакочередующиеся ряды: основные понятия, теорема Лейбница, оценка остатка ряда.
  7. Функциональные ряды общего вида: основные понятия, поточечная и равномерная сходимость, область сходимости.
  8. Степенные ряды: основные понятия, теорема Абеля.
  9. Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.
  10. Свойства степенных рядов.
  11. Разложение функции в степенной ряд (ряды Тейлора и Маклорена). Условия сходимости степенного ряда к порождающей функции
  12. Периодические функции, простое гармоническое колебание, тригонометрическая система функций и ее свойства.
  13. Ряд Фурье для 2π-периодической интегрируемой функции. Теорема Дирихле.
  14. Частные случаи функций для разложения в тригонометрический ряд Фурье: четные и нечетные, 2l-периодические, заданные на симметричном относительно 0 отрезке, заданные на произвольном отрезке. Периодические продолжения функции.
  15. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье. Спектральные характеристики.
  16. Бесконечномерное евклидово пространство: определение, скалярное произведение и его свойства, понятие ортогональности и линейной независимости элементов, норма, ортонормированный базис.
  17. Пространство непрерывных на конечном отрезке функций и его свойства.
  18. Ряды Фурье по ортогональным системам функций (геометрическая интерпретация). Примеры ортогональных систем многочленов.
  19. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Тождество и неравенство Бесселя. Уравнение замкнутости.
  20. Интеграл Фурье. Косинус- и синус- преобразования Фурье.
  21. Комплексная форма преобразования Фурье.
  22. ДУ 1-го порядка: основные понятия, задача Коши, теорема Пикара, особое решение.
  23. Геометрический смысл ДУ 1-го порядка, разрешенного относительно производной. Метод изоклин. Классификация особых точек.
  24. Метод последовательных приближений Пикара и метод численного решения ДУ 1-го порядка, разрешенного относительно производной.
  25. Простейшие ДУ 1-го порядка, решаемых в квадратурах: неполные, с разделяющимися переменными, однородное, обобщенное однородное.
  26. Линейное ДУ 1-го порядка: основные свойства, интегрирование однородного линейного уравнения, интегрирование неоднородного линейного уравнения (методы неопределенных коэффициентов, вариации произвольной постоянной, интегрирующего множителя, подстановки Бернулли).
  27. Некоторые типы ДУ, сводящиеся к линейным: Бернулли, Дарбу, Риккати).
  28. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
  29. ДУ 1-го порядка, не разрешенные относительно производной: параметрическая форма решения, неполные уравнения, уравнения Лагранжа и Клеро. Геометрический смысл особого решения уравнения Клеро.
  30. ДУ высших порядков: основные понятия, задача Коши, теорема Пикара. Геометрический смысл ДУ 2-го порядка.
  31. Методы решения ДУ, допускающих понижение порядка (3 основных типа).
  32. Однородное и обобщенное однородное уравнение n-порядка.
  33. Однородное линейное ДУ n-порядка: основные понятия, действительное и комплексное решение, свойства решений однородного линейного уравнения n-порядка, вронскиан и его свойства, фундаментальная система решений, структура общего решения.
  34. Неоднородное линейное ДУ: основные понятия, структура общего решения, принцип наложения, метод Лагранжа для уравнения 2-го порядка.
  35. Линейные ДУ с постоянными коэффициентами: метод Эйлера нахождения фундаментальной системы решений однородного линейного уравнения, метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения неоднородного уравнения со специальной правой частью.
  36. Системы ДУ: основные понятия, задача Коши, теорема Пикара.
  37. Связь между нормальной системой ДУ и уравнением порядка n, решение с помощью создания интегрируемых комбинаций.
  38. Линейные системы с постоянными коэффициентами: метод Эйлера для решения однородных систем, методы интегрирования неоднородных систем (Лагранжа, неопределенных коэффициентов, Даламбера).
  39. Интегральное преобразование Лапласа: определение, свойства оригиналов, образ функции Дирака, простейшие формулы перехода от оригиналов к изображениям и обратно.
  40. Свойства преобразования Лапласа: теоремы о подобии, о запаздывании, о смещении, о дифференцировании и интегрировании оригинала и изображения, о свертке.
  41. Обратное преобразование Лапласа: практические приемы нахождения оригинала по его изображению.
  42. Решение задачи Коши для линейных ДУ и их систем с помощью преобразования Лапласа. Интеграл Дюамеля.
  1. Элементы ТФКП: комплексные числа и действия над ними, понятие функции комплексного переменного (ФКП), предел последовательности комплексных чисел, предел и непрерывность ФКП, дифференцирование ФКП (условие Коши-Римана), интегрирование ФКП, интегральная формула Коши, ряды в комплексной области, нули функции, изолированные особые точки, вычеты функций, теорема Коши о вычетах.